Question

14．如图所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若DE=12cm，CE=7cm，则DB的长度是多少？请写出求解过程．

Answer 1

分析 （1）由题目条件可求得∠DAB=∠ECA，则可证明△ABD≌△CAE；
（2）由（1）中的结论可求得BD=CE+DE，代入可求得BD．

解答 （1）证明：
∵BD⊥MN，EC⊥MN，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠CEA=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，∠ECA+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠ECA，
在△ABD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠ECA}\\{∠ADB=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）解：
由（1）可知BD=AE，DA=CE，
∵DE=DA+AE，
∴DE=DB+CE，
∴BD=DE-CE=12-7=5．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．