Question

17．已知，BC是圆O的直径，AB是圆O的弦，过点A的切线交BC延长线于点D，若AB=AD=2$\sqrt{3}$，则弧AC的长为$\frac{2}{3}π$．

Answer 1

分析 连接OA，由AD是⊙O的切线，得到∠OAD=90°，于是得到∠D+∠AOC=90°，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质得到∠AOC=60°，求得AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2，于是结论即可得出．

解答 解：连接OA，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，
∴∠D+∠AOC=90°，
∵AB=AD=2$\sqrt{3}$，
∴∠B=∠D，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠AOC=2∠B=2∠D，
∴∠AOC=60°，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2，
∴弧AC的长=$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}π$，
故答案为：$\frac{2}{3}π$．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角函数，结论OA构造直角三角形是解题的关键．