Question

已知a、b、c均为实数，且a+b+c=0，abc=2，求|a|+|b|+|c|的最小值．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：综合题

分析：由a+b+c=0，abc=2，得到a，b，c中有两个负数，一个正数，不妨设a＜0，b＜0，c＞0，再由a+b=-c，ab=

2

c

，这样可以把a，b看作方程x²+cx+

2

c

=0，根据根的判别式得到△=c²-4•

2

c

≥0，解得c≥2，然后化简原式得到-a-b+c=2c，即可得到|a|+|b|+|c|的最小值．

解答：解：∵a+b+c=0，abc=2，
∴a，b，c中有两个负数，一个正数，
不妨设a＜0，b＜0，c＞0，
∴a+b=-c，ab=

2

c

，
∴可以把a，b看作方程x²+cx+

2

c

=0的解，
∴△=c²-4•

2

c

≥0，解得c≥2，
∴原式=-a-b+c=2c≥4，
即|a|+|b|+|c|的最小值为4．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式：如方程有两个实数根，则△≥0．也考查了一元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义．