Question

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的切线DE平分BC边．

(1)BC与⊙O是否相切？请说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，以点O、B、E、D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)要判断BC与⊙O是否相切，只需判断∠ABC是否等于90°；(2)可进行逆向思维：若四边形OBED是平行四边形，则应有OD∥BC．由(1)知∠ABC＝90°，所以∠AOD＝90°．而OA＝OD，所以∠A＝∠ADO＝45°，从而可得△ABC为等腰直角三角形． 　　解：(1)BC与⊙O相切． 　　理由：连接OD、BD． 　　因为DE切⊙O于点D，AB为直径，所以∠EDO＝∠ADB＝90°． 　　因为DE平分CB，所以DE＝BC＝BE．所以∠EBD＝∠EDB． 　　又因为∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，所以∠OBD＋∠EBD＝90°，即∠ABC＝90°．所以BC与⊙O相切． 　　(2)当△ABC为等腰直角三角形(∠ABC＝90°)时，四边形OBED是平行四边形． 　　理由：因为△ABC是等腰直角三角形(∠ABC＝90°)，所以AB＝BC． 　　因为BD⊥AC于点D，所以D为AC的中点．所以OD＝BC＝BE，OD∥BC． 　　所以四边形OBED是平行四边形．