Question

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC于点D，弦DE∥AB，∠C=∠BAF
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD=2

5

，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接BD．欲证BC为⊙O的切线，只需证明∠ABC=90°即可；
（2）过D作DM⊥AB，在Rt△ADB中利用勾股定理即可求得DB的长，然后根据三角形的面积公式即可求得DM的长，即DE的弦心距，则DE=AB-2AM，据此即可求解．

解答：（1）证明：连BD，则∠CDB=90°
∠C=∠BAF=∠BDE
∵DE∥AB
∴∠ABD=∠BDE=∠C
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠C+∠DBC=90°
∴BC为⊙O的切线；

（2）解：过D作DM⊥AB，
∵AB=10，AD=2

5

，
∴在Rt△ADB中，DB=

AB2-DA2

=

102-(2 5 )2

=4

5

，
又∵S△ADB=

1

2

AD•DB=

1

2

AB•DM，
∴DM=4，
在Rt△ADM中，AM=

AD2-DM2

=

(2 5 )2-42

=2 
∴DE=AB-2AM=10-2×2=6．

点评：本题考查切线的判定以及勾股定理，已知所证的直线经过圆上的点，证切线常用的方法是转化成证垂直．