题目内容
(2010•黔东南州)如图,以△ABC的边BC为直径作⊙O分别交AB,AC于点F.点E,AD⊥BC于D,AD交于⊙O于M,交BE于H.
求证:DM2=DH•DA.
求证:DM2=DH•DA.
分析:首先利用相似三角形的判定得出△BDM∽△MDC,即可得出MD2=BD•CD,进而得出△BDH∽ADC,以及BD•CD=AD•DH,即可得出答案.
解答:证明:连接BM,CM,
∵BC为⊙O直径,
∴∠BMC=∠BEC=90°,
∵MD⊥BC,
∴∠C+∠CMD=90°,
∵∠CMD+∠BMD=90°,
∴∠MCD=∠BMD,
∠MDC=∠MDB=90°,
∴△BDM∽△MDC,
∴
=
,
∴MD2=BD•CD,
∵∠AHE=∠BHD,∠AEH=∠HDB=90°,
∴∠DBH=∠DAC,
∠BDH=∠ADC=90°,
∴△BDH∽△ADC,
∴
=
,
∴BD•CD=AD•DH,
∴DM2=DH•DA.
∵BC为⊙O直径,
∴∠BMC=∠BEC=90°,
∵MD⊥BC,
∴∠C+∠CMD=90°,
∵∠CMD+∠BMD=90°,
∴∠MCD=∠BMD,
∠MDC=∠MDB=90°,
∴△BDM∽△MDC,
∴
BD |
MD |
MD |
CD |
∴MD2=BD•CD,
∵∠AHE=∠BHD,∠AEH=∠HDB=90°,
∴∠DBH=∠DAC,
∠BDH=∠ADC=90°,
∴△BDH∽△ADC,
∴
BD |
AD |
DH |
DC |
∴BD•CD=AD•DH,
∴DM2=DH•DA.
点评:此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识,根据已知得出△BDM∽△MDC,△BDH∽ADC进而得出比例式是解题关键.
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