Question

已知二次函数y=x²+kx+2与x轴两个交点A、B都在原点左侧，顶点为C，当△ABC为等腰直角三角形时，求k的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：根据条件画出大致图象，作CD⊥AB于D，可以得出二次函数的顶点坐标为（-

k

2

，

8-k2

4

），CD=|

8-k2

4

|=

1

2

AB，设A（x₁，0），B（x₂，0），就有AB=|x₂-x₁|，就可以建立方程|

8-k2

4

|=

1

2

|x₂-x₁|，由根与系数的关系就可以得出x₁+x₂=-k，x₁x₂=2，将方程变形后求出其解即可．

解答：解：如图，设A（x₁，0），B（x₂，0），作CD⊥AB于D，
∴AB=|x₂-x₁|，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CD=

1

2

AB．
∵y=x²+kx+2，
∴y=（x+

k

2

）²+

8-k2

4

，
∴C（-

k

2

，

8-k2

4

），
∴CD=|

8-k2

4

|，
∴|

8-k2

4

|=

1

2

|x₂-x₁|，
（

8-k2

4

）²=[

1

2

（x₂-x₁]²，

64-16k2+k4

16

=

1

4

[（x₂+x₁）²-4x₁x₂]，
∵x₁+x₂=-k，x₁x₂=2，
∴

64-16k2+k4

16

=

1

4

（k²-8），
k⁴-20k²+96=0，
解得：k₁=2

2

，k₂=-2

2

，k₃=2

3

，k₄=-2

3

．
∵抛物线与x轴两个交点A、B都在原点左侧，
∴a、b同号，
∵a=1＞0，
∴b=k＞0
∴k=2

2

或2

3

，
∵k=2

2

时，b²-4ac=0，
∴抛物线与x轴只有一个交点，
∴k=2

3

．
答：k的值为2

3

．

点评：本题考查了抛物线的顶点式的运用，等腰直角三角形的性质的运用，根与系数的关系的运用，高次方程的解法的运用，解答时运用抛物线的性质求解是关键．