Question

在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）满足（a-2）²+

b-4

=0．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点M为直线y=mx上一点，△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据非负数的性质可求得a、b，可求得A、B坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）根据A、B坐标，可求出AB及AB中点的C坐标，设M坐标为（x，mx），则MC=

1

2

AB，且M点在线段AB的垂直平分线上，可求得垂直平分线的方程，则可求得M的值．

解答：解：
（1）∵（a-2）²+

b-4

=0，
∴a=2，b=4，
∴A（2，0），B（0，4），
设直线AB解析式为y=kx+b，把A、B两点坐标代入可得

0=2k+b b=4

，
解得

k=-2 b=4

，
∴直线AB的解析式为y=-2x+4；
（2）∵A（2，0），B（0，4），
∴线段AB的中点C为（1，2），AB=2

5

，
∵直线AB解析式为y=-2x+4，
∴可设线段AB垂直平分线的解析式为y=

1

2

x+m，
把C点坐标代入可得b=

3

2

，
∴线段AB的垂直平分线为y=

1

2

x+

3

2

，
当△ABM是以AB为底的等腰直角三角形时，可知MC=

1

2

AB=

5

，
∵M在直线y=mx上，
∴设M坐标为（x，mx），
∴MC=

(x-1)2+(mx-2)2

=

5

，
又M在线段AB的垂直平分线上，
∴mx=

1

2

x+

3

2

，
代入上式，整理可得（x-1）²=4，
解得x=3或x=-1，
当x=3时，y=

1

2

×3+

3

2

=3，此时点M坐标为（3，3），代入y=mx可求得m=1，
当x=-1时，y=

1

2

×（-1）+

3

2

=1，此时点M坐标为（-1，1），代入y=mx可求得m=-1，
综上可知m为1或-1．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰直角三角形的性质、垂直平分线的方程、直线的交点等知识的综合应用．在（1）中掌握非负数的性质是解题的关键，在（2）中确定出M点所在的直线是解题的关键．注意方程思想和勾股定理的应用，难度适中，综合性较强．