Question

14．如图，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，与直线y=$\frac{3}{4}$x交于点E．过点D作DC∥x轴，交直线y=$\frac{3}{4}$x于点C，过点C作CB∥AD交x轴于点B．
（1）点C的坐标是（4，3）；
（2）以线段AD的中点M为圆心作⊙M，当⊙M与直线CE相切时，求⊙M的半径；
（3）如图2，点P从点O出发，沿线段OC向终点C运动，点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．若P、Q两点同时出发，速度均为1单位长度/s，时间为t s．当p、q两点有一点到达终点时，它们均停止运动．将线段PQ绕点P沿顺时针方向旋转90°．当点Q落在四边形ABCD一边所在的直线上时，t的值为2．

Answer 1

分析 （1）首先求出点D的坐标是多少，进而确定出线段CD所在的直线的解析式；然后联立CD所在的直线的解析式：y=$\frac{3}{4}$x，求出点C的坐标是多少即可；
（2）首先求出线段AD的中点M的坐标；然后根据点到直线的距离的求法，求出点M到直线y=$\frac{3}{4}$x的距离，即可判断出⊙M的半径是多少；
（3）先得出直线BC的解析式，设点M的坐标为（x，1.5x-3），同时得出点P和点Q的坐标，根据两点间的距离公式得出PQ=PM，继而得出答案．

解答 解：（1）∵y=3x+3与y轴的交点D的坐标是（0，3），
∴线段CD所在的直线的解析式是：y=3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即点C的坐标是（4，3）；

（2）由0=3x+3，
解得x=-1，
∴点A的坐标是（-1，0），
∴线段AD的中点M的坐标是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
由y=$\frac{3}{4}$x，可得
3x-4y=0，
当⊙M与直线CE相切时，⊙M的半径是：
$\frac{|3×（-\frac{1}{2}）-4×\frac{3}{2}|}{\sqrt{{3}^{2}{+（-4）}^{2}}}$
=$\frac{7.5}{5}$
=1.5

（3）如图2，点Q落在四边形ABCD的BC边所在的直线上，，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把点C（4，3）和点B（2，0）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1.5}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以解析式为：y=1.5x-3，
设点M的坐标为（x，1.5x-3），
因为直线OC过原点和点C（4，3），可得直线OC的解析式为：y₁=$\frac{4}{3}$x；
当点Q落在四边形ABCD一边所在的直线上时，点P的坐标为（$\frac{3}{5}t，\frac{4}{5}t$），点Q的坐标为（3-t，4），
将线段PQ绕点P沿顺时针方向旋转90°，可得PQ=PM，
可得：$（\frac{3}{5}t-3+t）^{2}+（\frac{4}{5}t-4）^{2}=（\frac{3}{5}t-x）^{2}+（\frac{4}{5}t-1.5x+3）^{2}$，$2[（\frac{3}{5}t-3+t）^{2}+（\frac{4}{5}t-4）^{2}]=（3-t-x）^{2}+（4-1.5x+3）^{2}$，
联立两个方程解得：t=2．
故答案为：2．

点评 此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．同时还考查了点的坐标的求法，以及直线的解析式的求法，还有直线和圆相切的性质的应用，要熟练掌握．