Question

9．在平面直角坐标系中，如图，矩形ABCO的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA=4，OC=3．点Q从点C出发沿CB方向以每秒2个单位的速度向点B运动，以CQ为一边向下作正方形CQDE，同时点P从原点O出发在x轴上以每秒1个单位的速度向右运动，点Q的运动时间为x（s），△PBD的面积为y，当点Q到点B时，P、Q两点同时停止运动．回答下列问题：
（1）点B的坐标为（4，3）；
（2）当x=1时，求直线PB的解析式，并判断此时点D是否在直线PB上，说明理由；
（3）求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据OA、OC的长度结合矩形的性质即可得出点B的坐标；
（2）当x=1时找出点P、Q的坐标，根据点P、B的坐标利用待定系数法即可求出直线PB的解析式，根据点Q的坐标结合正方形的性质即可得出点D的坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征验证此时点D是否在直线PB上；
（3）过点D作DF⊥x轴交直线PB于点F，设点P的坐标为（a，0），则点D的坐标为（2a，3-2a），根据点P、B的坐标利用待定系数法求出直线PB的解析式，再结合点D的坐标找出过点D、F的直线的解析式，由此即可得出点F的坐标，根据三角形的面积公式找出y关于a的关系式，将a换成x即可得出结论．

解答 解：（1）∵OA=4，OC=3，四边形ABCO为矩形，
∴AB=3，CB=4，
∴点B的坐标为（4，3）．
故答案为（4，3）．
（2）当x=1时，点P的坐标为（1，0），
设直线PB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{3=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线PB的解析式为y=x-1．
∵点Q从点C出发沿CB方向以每秒2个单位的速度向点B运动，且x=1，
∴点Q（2，3），
∵四边形CQDE为正方形，
∴点D（2，1）．
当x=2时，y=2-1=1，
∴此时点D在直线PB上．
（3）过点D作DF⊥x轴交直线PB于点F，如图所示．
设点P的坐标为（a，0），则点D的坐标为（2a，3-2a），
∵点B的坐标为（4，3），
利用待定系数法即可求出直线PB的解析式为y=$\frac{3}{4-a}$x+$\frac{3a}{a-4}$（0≤a≤2），
∵DF⊥x轴，
∴经过点D、F点的直线的解析式为x=2a，
∴点F的坐标为（2a，$\frac{3a}{4-a}$），
∴DF=|3-2a-$\frac{3a}{4-a}$|=$\frac{|2{a}^{2}-14a+12|}{4-a}$，
∴y=$\frac{1}{2}$DF•（x_B-x_P）=$\frac{1}{2}$×$\frac{|2{a}^{2}-14a+12|}{4-a}$×（4-a）=|a²-7a+6|．
将a换成x，
即可得出y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-7x+6（0≤x≤1）}\\{-{x}^{2}+7x-6（1＜x≤2）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了矩形的性质、利用待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据矩形的性质找出点B的坐标；（2）利用待定系数法求出直线PB的解析式；（3）根据三角形的面积公式找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．