Question

6．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥C，交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（1）若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA=EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论． 
（2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF=AE=8，DF=DE，求出OF=3，由勾股定理得出DF，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=EAD，
∴EA∥OD，
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线DE与⊙O相切． 
（2）解：作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：
∴∠DFA=∠DEA=90°，
在△EAD和△FAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△FAD（AAS），
∴AF=AE=8，DF=DE，
∵OA=OD=5，
∴OF=3，
在Rt△DOF中，DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴DE=DF=4．

点评 本题考查圆与直线相切的判定、平行线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．