Question

如图，抛物线y=x²+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上一个动点．
（1）求直线l的函数关系式；
（2）试写出符合下列条件的点P的坐标：
①当以点A、B、O、P为顶点的四边形是菱形时，点P坐标为

 

．
②当以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形时，点P坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将抛物线的解析式配方可得y=x²+4x=（x+2）²-4，依此可得A（-2，-4），进一步求出B点坐标，根据待定系数法可求AB的解析式，根据平移的性质可得直线l的函数关系式；
（2）①若四边形ABPO为菱形时，根据菱形的性质，则P点横坐标与A坐标相同，然后再代入直线就可求出纵坐标，则P坐标就可以求出；
②若四边形ABPO为平行四边形时，根据平行四边形的性质，则P点横坐标与O点横坐标的差值=B点横坐标与A点横坐标的差值，依此可求A点横坐标，然后再代入直线就可求出纵坐标；
若四边形ABOP为平行四边形时，根据平行四边形的性质，则P点横坐标与O点横坐标的差值=A点横坐标与B点横坐标的差值，依此可求A点横坐标，然后再代入直线就可求出纵坐标．

解答：解：（1）∵y=x²+4x=（x+2）²-4，
∴A（-2，-4），
∵y=x²+4x=x（x+4），
∴B（-4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则

-2k+b=-4 -4k+b=0

，
解得

k=-2 b=-8

，
∴直线AB的解析式为y=-2x-8，
∴直线l的解析式为y=-2x．

（2）①当四边形ABOP是菱形时，P点横坐标与A点横坐标相同，纵坐标与A点坐标互为相反数，四边形ABPO为菱形时，P（-2，4）；
②当四边形ABPO为平行四边形时，P点横坐标=0+[（-4）-（-2）]=-2，P点纵坐标=-2×（-2）=4，P（-2，4）；
当四边形ABOP为平行四边形时，P点横坐标=0+[（-2）-（-4）]=2，P点纵坐标=-2×2=-4，P（2，-4）．
综上所述，当以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形时，点P坐标为 （-2，4）或（2，-4）．
故答案为：（-2，4）；（-2，4）或（2，-4）．

点评：考查了抛物线函数的特性，要求掌握抛物线函数的特点．其次是通过动态点的变化来加深了解抛物线曲线和一次函数的关系，以及菱形的性质和平行四边形的性质．