题目内容

矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；
（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？
（2）若使AD= $数学公式$ +1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．

解：（1）∵矩形EFCD∽矩形CBAD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵CD=AB=2，可设AD=2CF=2x，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则：x= $\text{[math]}$ ，
故：AD=2 $\text{[math]}$ ．

（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似；
则DC必与AD对应，ED必与DC对应，
有： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DC²=AD•ED，
又∵DC=2cm，AD= $\text{[math]}$ +1cm，
∴ED= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1（cm）
∴AE=AD-（ $\text{[math]}$ -1）=2，
而AE=2＞ $\text{[math]}$ -1=ED，
依据对称性考虑，必定存在当AE= $\text{[math]}$ -1时，使矩形EFBA与矩形ABCD相似的情形，
综上述：当AE= $\text{[math]}$ -1或2时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似；
且该两种情形中，E刚好是边AD的两个黄金分割点．
分析：（1）先根据矩形EFCD∽矩形CBAD可得出两矩形的对应边成比例，再AD=2CF=2x，把CD、AB的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出AD的值；
（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似，则DC必与AD对应，ED必与DC对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出ED的长，进而可得出AE的长，进而可得出结论．
点评：本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例．