Question

矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；
（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？
（2）若使AD=

5

+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据矩形EFCD∽矩形CBAD可得出两矩形的对应边成比例，再AD=2CF=2x，把CD、AB的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出AD的值；
（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似，则DC必与AD对应，ED必与DC对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出ED的长，进而可得出AE的长，进而可得出结论．

解答：解：（1）∵矩形EFCD∽矩形CBAD，
∴

AD

CD

=

AB

CF

，（2分）
又∵CD=AB=2，可设AD=2CF=2x，
∴

2x

2

=

2

x

，（2分）
则：x=

2

，
故：AD=2

2

．（1分）

（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似；
则DC必与AD对应，ED必与DC对应，
有：

DC

AD

=

ED

DC

，
∴DC²=AD•ED，（1分）
又∵DC=2cm，AD=

5

+1cm，
∴ED=

DC2

AD

=

4

5 +1

=

5

-1（cm）                                            
∴AE=AD-（

5

-1）=2，（2分）
而AE=2＞

5

-1=ED，
依据对称性考虑，必定存在当AE=

5

-1时，使矩形EFBA与矩形ABCD相似的情形，
综上述：当AE=

5

-1或2时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似；
且该两种情形中，E刚好是边AD的两个黄金分割点．

点评：本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例．