题目内容
矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？
（2）若使AD=
+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．
【答案】分析：（1）先根据矩形EFCD∽矩形CBAD可得出两矩形的对应边成比例，再AD=2CF=2x，把CD、AB的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出AD的值；
（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似，则DC必与AD对应，ED必与DC对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出ED的长，进而可得出AE的长，进而可得出结论．
解答：
解：（1）∵矩形EFCD∽矩形CBAD，
∴
=
，（2分）
又∵CD=AB=2，可设AD=2CF=2x，
∴
=
，（2分）
则：x=
，
故：AD=2
．（1分）
（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似；
则DC必与AD对应，ED必与DC对应，
有：
=
，
∴DC2=AD•ED，（1分）
又∵DC=2cm，AD=
+1cm，
∴ED=
=
=
-1（cm）
∴AE=AD-（
-1）=2，（2分）
而AE=2＞
-1=ED，
依据对称性考虑，必定存在当AE=
-1时，使矩形EFBA与矩形ABCD相似的情形，
综上述：当AE=
-1或2时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似；
且该两种情形中，E刚好是边AD的两个黄金分割点．
点评：本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例．
（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似，则DC必与AD对应，ED必与DC对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出ED的长，进而可得出AE的长，进而可得出结论．
解答：
解：（1）∵矩形EFCD∽矩形CBAD，∴
=，（2分）又∵CD=AB=2，可设AD=2CF=2x，
∴
=，（2分）则：x=
，故：AD=2
．（1分）（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似；
则DC必与AD对应，ED必与DC对应，
有：
=，∴DC2=AD•ED，（1分）
又∵DC=2cm，AD=
+1cm，∴ED=
==-1（cm） ∴AE=AD-（
-1）=2，（2分）而AE=2＞
-1=ED，依据对称性考虑，必定存在当AE=
-1时，使矩形EFBA与矩形ABCD相似的情形，综上述：当AE=
-1或2时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似；且该两种情形中，E刚好是边AD的两个黄金分割点．
点评：本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例．
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5、如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）
矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；
＋1 cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．
矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；
+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．