Question

如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A、B、C的对应点分别是D、E、F，连接AD．若有动点P从点D出发，以2cm/s速度沿D→A→C向点C运动，动点Q同时从点B出发，以3cm/s的速度沿B→F→D向点D运动，设P、Q运动时间为t，P、Q两点中一点达到终点，另一点也随之停止运动，请问：
（1）当点P在线段DA上运动时，是否存在t的值，使四边形PQCD是等腰梯形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（2）在运动过程中，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是否能成平行四边形？若可以，请求出相应的t值；若不可以，请说明理由．

Answer 1

考点：等腰梯形的判定,平行四边形的判定

专题：动点型

分析：（1）分为两种情况，当Q在C的左侧时，当Q在C的右侧时，画出图形，根据等腰梯形的性质得出方程，求出即可；
（2）分为三种情况，画出图形，根据平行四边形的性质得出方程，求出即可．

解答：解：（1）根据题意得：AD=BE=10cm，AB=DE=6cm，BC=EF=8cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=DF=10，
当P在线段DA上时，0≤t≤5，此时Q在BF上，
当Q在C的左侧时，如图1，过P作PM⊥BF于M，
∵四边形PQCD是等腰梯形，
∴CE=QM=10-8=2，
则2t=10-（3t-2），
解得：t=

8

5

；此时DP=CQ，
即此时四边形是平行四边形，
故此时不符合题意舍去；
当Q在C的右侧时，如图2，
2t=2（10-3t）+3t-8，
解得：t=

12

5

；
即当点P在线段DA上运动时，存在t的值，使四边形PQCD是等腰梯形，t的值是

12

5

；

（2）①当P在AD上，Q在BF上时，即0≤t≤5时，如图3，
当Q在C的左侧时，∵四边形DCQP是平行四边形，AD∥BC，
∴DP=CQ，
即2t=8-3t，
解得：t=

8

5

；
如图4，当Q在C的右侧时，
∵DP=CQ，
∴2t=3t-8，
t=8，
∵0≤t≤5，
∴此种情况不符合舍去；
②当P在AC上，Q在BF上时，即5＜t≤6时，如图5，
∵AD∥CQ，
∴DP不平行于CQ，此时不符合题意；
③当P在AC上，DF在BF上时，即6＜t≤

28

3

时，如图6，
∵AC∥DF，
∴CP=DQ，
即10+10-2t=10+10+8-3t，
解得：t=8；
所以在运动过程中，以点P、Q、C、D为顶点的四边形能成平行四边形，相应的t值是

8

5

或8．

点评：本题考查了等腰梯形性质，解一元一次方程，平行四边形的性质和判定，平移的性质的应用，注意：用了分类讨论思想，难度偏大．