题目内容

如图，直线L₁经过原点，与双曲线y= $数学公式$ （x＞0）交于点B（1，2），点M为y正半轴上一点，过M作直线L₂∥x轴交L₁于P，交双曲线y= $数学公式$ （x＞0）于E．
（1）直接写出直线L₁与双曲线y= $数学公式$ （x＞0）的解析式；
（2）若E为PM中点，求点M坐标；
（3）在（2）的条件下，过P作PN⊥x轴于N，交双曲线y= $数学公式$ （x＞0）于F，判断点F是否为PN中点？若是求点F坐标，若不是，求PF与NF的比值．

解：（1）设直线L₁的解析式为y=mx，
把B（1，2）代入y=mx得m=2，
∴直线L₁的解析式为y=2x，
把B（1，2）代入y= $\text{[math]}$ 得k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ；
（2）由点P在直线y=2x上，可设P点坐标为（a，2a），
∵E为PM中点，PM⊥y轴，
∴E点坐标为（ $\text{[math]}$ a，2a），
把E（ $\text{[math]}$ a，2a）代入y= $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ a•2a=2，解得a= $\text{[math]}$ 或a=- $\text{[math]}$ （舍去），
∴M点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）；
（3）F点为PN的中点．理由如下：
由（2）得P点坐标为（ $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ），
∵PN⊥x轴，
∴PN=2 $\text{[math]}$ ，F点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，
把x= $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ 得y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴F点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴FN= $\text{[math]}$ ，
∴PN=2FN，
∴F点为PN的中点．
分析：（1）设直线L₁的解析式为y=mx，把B（1，2）代入y=mx求出m，则可确定直线L₁的解析式为y=2x；然后把B（1，2）代入y= $\text{[math]}$ 求出k，从而确定反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ；
（2）先设P点坐标为（a，2a），由于E为PM中点，PM⊥y轴，则E点坐标表示为（ $\text{[math]}$ a，2a），再把E（ $\text{[math]}$ a，2a）代入反比例函数解析式求出满足条件的a的值，于是可得到M点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）；
（3）先由（2）得P点坐标为（ $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ），再利用PN⊥x轴，得到PN=2 $\text{[math]}$ ，且F点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，然后把x= $\text{[math]}$ 代入反比例函数解析式求出对应的函数值，则可确定F点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），所以FN= $\text{[math]}$ ，则PN=2FN，于是可判断F点为PN的中点．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式；会运用待定系数法确定一次函数和反比例函数解析式．