Question

如图，直线l₁经过点A（-1，0），直线l₂经过点B（3，0），l₁、l₂均为与y轴交于点C（0，），抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l₂交于点E、与抛物线交于点F、与l₁交于点G．求证：DE=EF=FG；
（3）若l₁⊥l₂于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG的长度．
D是对称轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求；E是对称轴与直线l₂交点，需要求出l₂的解析式，G是对称轴与l₁的交点，需要求出l₁的解析式，而A、B、C三点坐标已知，所以l₁、l₂的解析式可以用待定系数法求出．至此本问解决；
（3）△PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论．如解答图所示，在解答过程中，充分注意到△ECG为含30度角的直角三角形，△P₁CG为等边三角形，分别利用其几何性质，则本问不难解决．
解答：解：（1）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，）三点，
∴，解得a=，b=，c=，
∴抛物线的解析式为：y=x²x．

（2）设直线l₁的解析式为y=kx+b，由题意可知，直线l₁经过A（-1，0），C（0，）两点，
∴，解得k=，b=，∴直线l₁的解析式为：y=x；
直线l₂经过B（3，0），C（0，）两点，同理可求得直线l₂解析式为：y=x．
∵抛物线y=x²x=（x-1）²，
∴对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1，）；
点E为x=1与直线l₂：y=x的交点，令x=1，得y=，∴E（1，）；
点G为x=1与直线l₁：y=x的交点，令x=1，得y=，∴G（1，）．
∴各点坐标为：D（1，0），E（1，），F（1，），G（1，），它们均位于对称轴x=1上，
∴DE=EF=FG=．

（3）如右图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P₁，CP₁交对称轴于H点，连接CF．
△PCG为等腰三角形，有三种情况：
①当CG=PG时，如右图，由抛物线的对称性可知，此时P₁满足P₁G=CG．
∵C（0，），对称轴x=1，∴P₁（2，）．
②当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG．
如右图，C（0，），H点在x=1上，∴H（1，），
在Rt△CHG中，CH=1，HG=|y_G-y_H|=|-（）|=，
∴由勾股定理得：CG==2．
∴PC=2．
如右图，CP₁=2，此时与①中情形重合；
又Rt△OAC中，AC==2，∴点A满足PC=2的条件，但点A、C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形．
③当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上．
∵l₁⊥l₂，∴△ECG为直角三角形，
由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点，
∴CF=FG，∴F为满足条件的P点，∴P₂（1，）；
又cos∠CGE==，∴∠CGE=30°，∴∠HCG=60°，
又P₁C=CG，∴△P₁CG为等边三角形，
∴P₁点也在CG的垂直平分线上，此种情形与①重合．
综上所述，P点的坐标为P₁（2，）或P₂（1，）．
点评：作为中考压轴题，本题考查的知识点比较多，包括二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数、一次函数）解析式、等腰三角形、等边三角形以及勾股定理等．难点在于第（3）问，需要针对等腰三角形△PCG的三种可能情况分别进行讨论，在解题过程中，需要充分挖掘并利用题意隐含的条件（例如直角三角形、等边三角形），这样可以简化解答过程．