Question

已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式．
（1）抛物线经过两点A（1，0），B（0，-3），且对称轴是直线x=2；
（2）抛物线的顶点是（-2，3），且过点（-1，5）；
（3）抛物线与x轴交于（-2，0），（4，0）两点，且该抛物线的定点为（1，-

9

2

）．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-3），然后把B点坐标代入求出a即可；
（2）由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）²+3，然后把（-1，5）代入求出a即可；
（3）由于已知抛物线与x轴两交点坐标，则可设交点式y=a（x+2）（x-4），然后把（1，-

9

2

）代入求出a即可．

解答：解：（1）∵对称轴是直线x=2，
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把B（0，-3）代入得a•（-1）•（-3）=-3，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+2）²+3，
把（-1，5）代入得a（-1+2）²+3=5，解得a=2，
所以抛物线解析式为y=2（x+2）²+3；
（3）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），
把（1，-

9

2

）代入得a（1+2）•（1-4）=-

9

2

，解得a=

1

2

，
所以抛物线解析式为y=

1

2

（x+2）（x-4）=

1

2

x²-x-4．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．