Question

在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）。以点P为圆心，为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（D点在点C的上方）。点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）。

（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？

（3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数。

 

Answer 1

【答案】

（1）B（3m，0），E（m，4m）（2）线段BQ与线段EQ的长相等，理由见解析（3）45⁰

【解析】解：（1）B（3m，0），E（m，4m）。

（2）线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下：

由（1）知B（3m，0），E（m，4m），

∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，

∴D（0，3m）。

∴，，

。

∴。∴△BDE是直角三角形。

∴BE是△BDE的外接圆的直径。

设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B（3m，0），E（m，4m）得G（2m，2m）。

 

 

过点G作GI⊥DG于点I，则I（0，2m）。

根据垂径定理，得DI=IQ ，∴Q（0，m）。

∴。

∴BQ=EQ。

（3）延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。

 

 

根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO= m。

根据圆的对称性，OC=OA= m。

又∵OB=3m，，，

∴。。

又∵∠COB=∠EDB=90⁰，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。

∴∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO。

又∵OB=OC，∴∠DBO=45⁰。∴∠DBC－∠DBE=45⁰。

（1）过点P 作PH⊥x轴于点H，PF⊥y轴于点F，连接OE，BP。

 

∵点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0），

∴ P（m，m），H（m，0），F（0，m），OH=OF=HP= m。

∵PB=，∴。

∴OB=3 m。∴B（3m，0）。

∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，∴D（0，3m）。

∵四边形DOPE是平行四边形，∴PE=OD=3m，HE=4m。∴E（m，4 m）。

（2）由勾股定理和逆定理，易知△BDE是直角三角形，从而根据圆周角定理和垂径定理可得点Q的坐标，从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。

（3）求出有关线段的长，可得，从而证得△COB∽△EDB，得到∠OBC=∠DBE。因此∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO=45⁰。