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精英家教网如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面积S△ABC=15,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过点F作FG垂直于x轴于点G,再过点E作EH垂直于x轴于点H,得到矩形EFGH.则在点E的运动过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长;
(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M,使△MBC中BC边上的高为7
2
?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)由已知设OA=m,则OB=OC=5m,AB=6m,由S△ABC=
1
2
AB×OC=15,可求m的值,确定A、B、C三点坐标,由A、B两点坐标设抛物线交点式,将C点坐标代入即可;
(2)设E点坐标为(m,m2-4m-5),抛物线对称轴为x=2,根据2|m-2|=EF,列方程求解;
(3)存在.因为OB=OC=5,△OBC为等腰直角三角形,直线BC解析式为y=x-5,则直线y=x+9或直线y=x-19与BC的距离为7
2
,将直线解析式与抛物线解析式联立,求M点的坐标即可.
解答:解:(1)∵OA:OB=1:5,OB=OC,
设OA=m,则OB=OC=5m,AB=6m,
由S△ABC=
1
2
AB×OC=15,得
1
2
×6m×5m=15,解得m=1(舍去负值),
∴A(-1,0),B(5,0),C(0,-5),
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-5),将C点坐标代入,得a=1,
∴抛物线解析式为y=(x+1)(x-5),
即y=x2-4x-5;精英家教网

(2)设E点坐标为(n,n2-4n-5),抛物线对称轴为x=2,
由2(n-2)=EF,得2(n-2)=-(n2-4n-5)或2(n-2)=n2-4n-5,
解得n=1±
10
或n=3±
10

∵n>0,
∴n=1+
10
或n=3+
10

边长EF=2(n-2)=2
10
-2或2
10
+2;

(3)存在.
由(1)可知OB=OC=5,
∴△OBC为等腰直角三角形,即B(5,0),C(0,-5),
设直线BC解析式为y=kx+b,将B与C代入得:
5k+b=0
b=-5

解得:
k=1
b=-5

则直线BC解析式为y=x-5,
依题意△MBC中BC边上的高为7
2

∴直线y=x+9或直线y=x-19与BC的距离为7
2

联立
y=x+9
y= x2-4x-5
y=x-19
y= x2-4x-5

解得
x=-2
y=7
x=7
y=16

∴M点的坐标为(-2,7),(7,16).
点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是采用形数结合的方法,准确地用点的坐标表示线段的长,根据图形的特点,列方程求解,注意分类讨论.
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