Question

15．Rt△DEF与等腰△ABC如图放置（点A与F重合，点D，A，B在同一直线上），AD=3，AB=BC=4，∠EDF=30°，∠ABC=120°．
（1）求证：ED∥AC；
（2）Rt△DEF沿射线AB方向平移，平移距离为a，当点D与点B重合时停止移动：
①当E在BC上时，求a；
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与平移距离a之间的函数关系式，并写出相应的自变量a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知求出∠CAD=30°，根据同位角相等进行证明即可；
（2）①过点E和点E的对应点向BD作垂线，根据平移的性质和三角函数求解即可；
②根据平移的距离判断重合部分形状，根据面积公式求解即可．

解答 解：（1）∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠CAB=∠C=（180°-120°）÷2=30°，
∴∠CAB=∠EDF=30°，
∴ED∥AC；
（2）如图：

①过点E作EG⊥AD，
∵在Rt△DEF中，∠EDF=30°，DF=3，
∴DE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$EG=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$，
∴GF=$\frac{3}{4}$，
∴a=2GF+AB=$\frac{11}{2}$；
②$S=\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}（0≤a≤3）}\\{\frac{9}{8}\sqrt{3}（3＜a≤4）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}+2\sqrt{3}-\frac{23}{8}\sqrt{3}（4＜a≤\frac{11}{2}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}-\frac{7}{2}a+\frac{49}{4}\sqrt{3}（\frac{11}{2}＜a≤7）}\end{array}\right.$

点评 此题主要考查平移的综合问题，会证明全等三角形，会运用平移的性质表示线段并求值，会分情况讨论表示图形面积是解题的关键．