Question

3．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α=60°，且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，此时∠CDB的度数为30°
（2）在图2中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线交射线BM于点D，则∠CDB的度数为（用含α的代数式表示）90°-α．
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=DQ，则α的取值范围是45°＜α＜60°．

Answer 1

分析 （1）由条件可得出AB=BC=AC，再利用旋转可得出QM=MC，证得CB=CD=BA，再由三角形外角的性质即可得出结论；
（2）由（1）可得BM为AC的垂直平分线，结合条件可以得出Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，由圆周角定理可得∠ACQ=$\frac{1}{2}$∠APQ=α，可得出∠CDB和α的关系；
（3）借助（2）的结论和PQ=QD，可得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，结合∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，代入可得出α的范围．

解答 解：（1）如图1，∵BA=BC，∠BAC=60°，
∴AB=BC=AC，∠ABC=60°，
∵M为AC的中点，
∴MB⊥AC，∠CBM=30°，AM=MC．
∵PQ由PA旋转而成，
∴AP=PQ=QM=MC．
∵∠AMQ=2α=120°，
∴∠MCQ=60°，∠QMD=30°，
∴∠MQC=60°．
∴∠CDB=30°．
故答案为：30°；

（2）如图2，连接PC，
∵由（1）得BM垂直平分AC，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC=PA，
∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠ACQ=$\frac{1}{2}$∠APQ=α，
∴∠BAC=∠ACD，
∴DC∥BA，
∴∠CDB=∠ABD=90°-α．
故答案为：90°-α；

（3）∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
故答案为：45°＜α＜60°．

点评 本题考查的是几何变换综合题，涉及到菱形的判定和性质及圆周角定理、垂直平分线等知识的综合应用，在（1）中掌握菱形的判定方法是解题的关键，在（2）中得出Q、C、A三点共圆利用圆周角定理得出结论是解题的关键．