Question

10．如图1，在等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC；在等腰Rt△DCE中，∠DCE=90°，CD=CE；点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G．

（1）若CN=6.5，CE=5，求BD的值．
（2）求证：CN⊥AD．
（3）把等腰Rt△DCE绕点C转至如图2位置，点N是线段BE的中点，延长NC交AD于点H，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到BE=2CN=13，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=12，即可得到结论；
（2）根据已知条件推出△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE，由直角三角形的性质得到CN=BN，根据等腰三角形的性质得到∠CBE=∠NCD，等量代换得到∠NCD=∠CAD，即可得到结论；
（3）如图2，延长CN到F使FN=CN，连接BF，通过△CEN≌△BNF，得到CE=BF，∠F=∠ECN，推出∠CBF=∠DCA，证得△ACD≌△BCF，根据全等三角形的性质得到∠DAC=∠BCF，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，点N是线段BE的中点，
∴BE=2CN=13，
∵CE=5，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=12，
∵CD=CE=5，
∴BD=BC-CD=7；

（2）在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=90°，点N是线段BE的中点，
∴CN=BN，
∴∠CBE=∠NCD，
∴∠NCD=∠CAD，
∵∠NCD+∠NCA=90°，
∴∠CAG+∠GCA=90°，
∴∠CGA=90°，
∴CN⊥AD；

（3）（2）中的结论还成立，如图2，延长CN到F使FN=CN，连接BF，
在△CEN与△BFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CN=FN}\\{∠CNE=∠BNF}\\{EN=BN}\end{array}\right.$，
∴△CEN≌△BNF，
∴CE=BF，∠F=∠ECN，
∵∠CBF=180°-∠F-∠BCF，∠DCA=360°-∠DCE-∠ACB-∠BCE=180°-∠ECF-∠BCF，
∴∠CBF=∠DCA，
∵CE=CD，
∴BF=CD，
在△ACD与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BF}\\{∠ACD=∠FBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF，
∴∠DAC=∠BCF，
∵∠BCF+∠ACH=90°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CN⊥AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．