如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A两点.点D是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上.且不与A.D两点重合.过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q.过点Q作QF垂直于y轴.点F在点Q的右侧.且QF=2.以QF.QP为邻边作矩形QPEF．设矩形QPEF的周长为d.点P的横坐标为m．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．(2)求这条抛物线的对称轴将� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+5与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点D是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q，过点Q作QF垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且QF=2，以QF、QP为邻边作矩形QPEF．设矩形QPEF的周长为d，点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分时m的值．
（3）求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围．
（4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，直接写出其对称中心的横坐标．

分析（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出函数对称轴进而得出m的值；
（3）分别利用当1＜m＜6时，d=2（-m²+7m-6+2），当m＞6时，d=2（m²-7m+6+2）求出d的取值范围即可；
（4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，则矩形QPEF是正方形，边长为2，进而得出m的值求出答案．

解答解：（1）把A（1，0）、B（5，0）代入y=ax²+bx+5，
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+5=0}\\{25a+5b+5=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴y=x²-6x+5；

（2）如图所示：∵抛物线y=x²-6x+5的对称轴为：x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-6}{2}$=3，
∵这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分，
可得PN=3-m，PE=2，
∴$\frac{3-m}{2}$=$\frac{2}{3}$或$\frac{3-m}{2}$=$\frac{1}{3}$，
解得：m=$\frac{5}{3}$或m=$\frac{7}{3}$；

（3）当x=6时，y=x²-6x+5=6²-6×6+5=5，
∴点D的坐标为（6，5）．
射线AD所对应的函数表达式为y=x-1（x＞1）．
∴P（m，m²-6m+5），Q（m，m-1）．
当1＜m＜6时，d=2（-m²+7m-6+2）=-2m²+14m-8，
当m＞6时，d=2（m²-7m+6+2）=2m²-14m+16，
又d=-2m²+14m-8=-2（m-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{33}{2}$，
∴d随m的增大而减小时d的取值范围是4＜d≤$\frac{33}{2}$．

（4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，则矩形QPEF是正方形，边长为2，
当1＜m＜6时，m-1-（m²-6m+5）=2，
整理得：m²-7m+8=0，
解得：m₁=$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，
当m＞6时，m²-6m+5-（m-1）=2，
整理得：m²-7m+4=0，
解得：m₃=$\frac{7+\sqrt{33}}{2}$，m₄=$\frac{7-\sqrt{33}}{2}$（舍去），
故其对称中心的横坐标为：$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$+1=$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$+1=$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{7+\sqrt{33}}{2}$+1=$\frac{9+\sqrt{33}}{2}$．

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