Question

已知：如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PO交AB于点M，C是MB上的一点，OC的延长线交⊙O于点E，PD⊥OE，垂足为D，且OC=3，OD=8，求⊙O的半径．

Answer 1

解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠1=∠2，
∴PO⊥AB，即∠BMO=90°，
又PD⊥OD，
∴∠PDO=90°，
∴∠BMO=∠PDO，
∵∠COM=∠DOP，
∴△OCM∽△OP′D，
∴=，
∴OP•OM=OC•OD，
又OC=3，OD=8，
∴OP•OM=3×8=24，
∵OP是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
又∵PO⊥AB，
∴△OBM∽△OPB，
∴=，
∴OB²=OP•OM=24，
∴OB=2，
故⊙O的半径为2．
分析：先利用切线的性质证明△OCM∽△OP′D，则=，可以求得OP•OM，再利用切线的性质得△OBM∽△OPB，则=，从而求出OB，即⊙O的半径．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，切线长定理等知识，综合性强，难度较大．