Question

【题目】如图，是半圆的直径，为半圆的圆心，是弦，取的中点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：是半圆的切线；

（2）当，时，求的长；

（3）当时，直接写出面积最大时，点到直径的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连接OD，先说明∠BAD=∠CAD，然后根据等腰三角形的性质和平行线的性质证得OD//AC，再运用平行线的性质∠ODE=90°即可；

（2）连接BC、OC，则∠ACB是直角，利用特殊锐角三角函数值可得∠BAC=30°，则∠BOC=60°，最后依据扇形的弧长公式进行计算即可；

（3）连接OD、BC、OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F，先证明四边形ODEF为矩形，得到OF=ED，再通过解直角三角形求得AC、OF，最后运用角平分线定理即可解答．

解：（1）证明：如解图①，连接

是的中点，

，

，

，

又是半圆的半径，

是半圆的切线；

图①

（2）如解图②，连接、，则是直角．

∵，，

∴

，

图②

（3）如解图③所示：连接、、，过点作，垂足为．

∵．

四边形为矩形，

，

当时，为等腰直角三角形，此时面积最大，

·

，

平分

点到的距离．

图③