Question

9．如图，已知△ABC是等边三角形．
（1）如图（1），点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC．将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF．猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；
（2）点E在线段BA的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；
（3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明．

Answer 1

分析 （1）猜想：AB=AF+BD；                       
（2）猜想：AB=AF-BD；  
（3）过点E作EG∥BC交AC于点G，得△AEG为等边三角形，证明△BDE≌△GEC，得到BD=EG=AE又因为AF=BE，所以AB=BE+AE=AF+BD．

解答 解：（1）猜想：AB=AF+BD；                       
（2）如图2，猜想：AB=AF-BD；  

（3）如图（1），过点E作EG∥BC交AC于点G，得△AEG为等边三角形，

∵DE=CE，
∴∠CDE=∠ECD，
又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，
∴∠BED=∠GCE，
在△BDE和△GEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EC}\\{∠BED=∠GCE}\\{BE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△GEC，
∴BD=EG=AE
又∵AF=BE，
∴AB=BE+AE=AF+BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，解决本题的关键是利用数形结合，作出辅助线，证明三角形全等．