已知:l∥m∥n∥k.平行线与m.m与n.n之间的距离分别为d1.d2.d3.且d1=d3=1.d2=2．我们把四个顶点分别在l.m.n.k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形．(1)如图1.正方形ABCD为“格线四边形 .BE⊥l于点E.BE的反向延长线交直线于点F．求正方形ABCD的边长．(2)如图2.菱形ABCD为“格线四边形且∠ADC=60°.△AEF是等边三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知：l∥m∥n∥k，平行线与m、m与n、n之间的距离分别为d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线于点F．求正方形ABCD的边长．
（2）如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k 于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、于点G、M．求证：EC=DF．
（3）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，直接写出矩形ABCD的宽．

分析（1）证明△ABE≌△BCF，即可求得AE的长，然后利用勾股定理即可求解；
（2）连接AC，证明直角△AEC≌直角△AFD即可证得；
（3）过B作BE⊥l于点E，交k于点F，易证△AEB∽△BCF，然后分AB是长和AB是宽两种情况进行讨论求得；

解答（1）解：∵l∥k，BE⊥l，
∴∠BFC=∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△AED与△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠DCG}\\{∠AED=∠GDC}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△GDC，
∴AE=BF，
∵d₁=d₃=1，d₂=2，
∴BE=3，AE=1，
在直角△ABE中，AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{1}}$=$\sqrt{10}$，
即正方形的边长是$\sqrt{10}$；

（2）证明：如解答图②，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，且∠ADC=60°，
∴AC=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
∵AE⊥k，∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD=90°，
在Rt△AEC与Rt△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△AFD，
∴EC=DF；

（3）解：过B作BE⊥l于点E，反向延长BE交k于点F．
则BE=1，BF=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠FBC=∠EAB，
∴△AEB∽△BFC，
当AB是较短的边时，如图（a），
AB=$\frac{1}{2}$BC，则AE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$，
在直角△ABE中，AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$；
当AB是长边时，如图（b），
同理可得：BC=$\frac{\sqrt{37}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{2}$或$\frac{\sqrt{37}}{2}$．