Question

已知：矩形ABCD中，过点B作 BG⊥AC交AC于点E，分别交射线AD于F点、交射线CD于G点，BC=6．
（1）当点F为AD中点时，求AB的长；
（2）联结AG，设AB=x，S_△AFG=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）是否存在x的值，使以D为圆心的圆与BC、BG都相切？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题

分析：（1）易证△ABF∽△BCA，然后根据相似三角形的性质就可求出AB的值；
（2）由（1）可得△ABF∽△BCA，根据相似三角形的性质就可求得AF=

x2

6

，同理可得CG=

36

x

．然后分点F在线段AD上及在线段AD延长线上两种情况进行讨论，只需求出AF、DG，就可解决问题；
（3）过点D作DH⊥BG于点H，易得∠ACB=30°，在Rt△ABC中运用三角函数就可解决问题．

解答：解：（1）∵点F为AD中点，且AD=BC=6，
∴AF=3．
∵矩形ABCD中，∠ABC=90°，BG⊥AC于点E，
∴∠ABE+∠EBC=90°，∠ACB+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠ACB．
∵∠FAB=∠ABC=90°，
∴△ABF∽△BCA，
∴

AB

BC

=

AF

BA

，
∴

AB

6

=

3

AB

，
∴AB=3

2

；

（2）由（1）可得△ABF∽△BCA，
∴

AB

BC

=

AF

AB

．
∵AB=x，BC=6，
∴AF=

AB2

BC

=

x2

6

，
同理可得：CG=

BC2

AB

=

36

x

．
①当F点在线段AD上时，如图1，

DG=CG-CD=

36

x

-x=

36-x2

x

，
∴S_△AFG=

1

2

AF•DG=

36x-x3

12

，
即y=

36x-x3

12

（0＜x＜6）；
②当F点在线段AD延长线上时，如图2，

DG=CD-CG=x-

36

x

=

x2-36

x

，
∴S_△AFG=

1

2

AF•DG=

x3-36x

12

，
即y=

x3-36x

12

（x＞6）；

（3）过点D作DH⊥BG于点H，如图3，

∵以点D为圆心的圆与BC、BG都相切，
∴CD=DH，
∴∠DBF=∠CBD．
∵矩形ABCD中，∠ACB=∠CBD，
∴Rt△BEC中，∠ACB+∠CBD+∠DBF=90°，
∴∠ACB=30°，
∴Rt△ABC中，tan∠ACB=

AB

BC

，
∴tan30°=

x

6

，
∴x=2

3

，
即当x=2

3

时，以点D为圆心的圆与BC、BG都相切．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、切线长定理、三角函数等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键．