Question

如图，反比例函数y₁=

k

x

（k＜0）的图象经过点A（-

3

，m），连结AO并延长交双曲线于另一点D，过A作AB⊥x轴于点B，过D作DE⊥y轴交AB延长线于点E，且△AED的面积为4

3

．
（1）求m与k的值；
（2）若过A点的直线y₂=ax+b与x轴正半轴交于C点，且∠ACO=30°，求直线解析式；
（3）当y₁＞y₂时，请直接写出自变量x的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,反比例函数与一次函数的交点问题,相似三角形的判定与性质

专题：综合题,数形结合

分析：（1）由对称性易得OA=OD=

1

2

AD，然后利用相似三角形的性质可求出△ABO的面积，从而得到k的值及m的值．
（2）由条件利用特殊角的三角函数值可求出点C的坐标，利用待定系数法就可求出直线的解析式．
（3）先求出直线与反比例函数的图象的交点坐标，然后利用图象就可解决问题．

解答：解：（1）如图1，
∵直线AD与反比例函数y₁=

k

x

的图象都关于原点对称，
∴OA=OD=

1

2

AD．
∵DE⊥y轴，OB⊥y轴，
∴OB∥DE．
∴△ABO∽△AED．
∴

S△ABO

S△AED

=（

AO

AD

）²=

1

4

．
∵S_△AED=4

3

，
∴S_△ABO=

3

．
∵AB⊥OB，
∴-

k

2

=

3

．
∴k=-2

3

．
∵反比例函数y₁=

k

x

的图象经过点A（-

3

，m），
∴-

3

m=-2

3

．
∴m=2．
∴k的值为-2

3

，m的值为2．

（2）如图2，
∵点A的坐标为（-

3

，2），
∴OB=

3

，AB=2．
∵AB⊥BC，∠ACB=30°，
∴tan30°=

AB

BC

=

2

BC

=

3

3

．
∴BC=2

3

．
∴OC=

3

．
∴点C的坐标为（

3

，0）．
设直线AC的解析式为y₂=kx+b，
∴

- 3 k+b=2 3 k+b=0

．
解得：

k=- 3 3 b=1

．
∴直线AC的解析式为y₂=-

3

3

x+1．

（3）设直线AC与反比例函数的图象的另一个交点为F，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，如图2，
联立

y=- 3 3 x+1 y=- 2 3 x

，
解得：

x=- 3 y=2

或

x=2 3 y=-1

．
∴点F的坐标为（2

3

，-1）．
结合图象可得：当y₁＞y₂时，x的取值范围是-

3

＜x＜0或x＞2

3

．

点评：本题考查了直线与反比例函数的交点问题、用待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质等知识，还考查了数形结合的思想，是一道好题．