Question

如图，从⊙O外一定点P作⊙O的两条切线，若C为

AB

上一动点，过C作⊙O的切线交PA、PB于D、E，Q为优弧

AB

上任一点，已知PA=a，∠P=α．
（1）求证：△PDE的周长为定值，并求出定值；
（2）求证：∠DOE的度数为定值，并求出定值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）首先证明DA=DC，EB=EC，进而证明PA=PB，即可解决问题；
（2）首先证明△ODA≌△ODC，进而得到∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE，即可解决问题．

解答：证明：（1）如图，
∵DA、DC分别为⊙O的切线，
∴DA=DC；
同理可证：EB=EC，
∴DE=DA+EB；
∴PD+PE+DE=PA+PB；
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB=a，
∴△PDE的周长为定值，定值为2a．
（2）如图，连接OA、OB；
∵PA、PB分别为⊙0的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠P+∠AOB=180°，
∴∠AOB=180°-∠P=180°-α；
∵DA、DC为⊙O的切线，
∴OA⊥DA，OB⊥EB；
在△ODA与△ODC中，

OA=OC OD=OD

，
∴△ODA≌△ODC（HL），
∴∠AOD=∠COD，
同理可证：∠BOE=∠COE，
∴∠DOE=

1

2

∠AOB=90°-

1

2

α，
故∠DOE的度数为定值，定值为90°-

1

2

α．

点评：该命题主要考查了切线的性质、切线长定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理后解答．