Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，过点A作AD⊥PC于点D，AD与⊙O交于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB．

（2）若AB＝10，sin∠CAB＝，请写出求DE长的思路．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连接OC，PD切⊙O于点C，AD⊥PC于点D得到∠EAC＝∠ACO，且OA＝OC即可得到∠EAC＝∠CAO得出结论.

（2）连接CE，由（1）中可得Rt△CDE∽Rt△ACB得出，即可求出BC，∠EAC＝∠CAB根据圆的性质易得EC＝BC＝4，故得出DE＝.

（1）证明：连接OC，

∵PD切⊙O于点C，

∴OC⊥PC，

∵AD⊥PC于点D，

∴OC∥AD，

∴∠EAC＝∠ACO．

又∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠OAC，

∴∠EAC＝∠CAO，

即AC平分∠DAB．

（2）解：连接CE，

可证：Rt△CDE∽Rt△ACB，

∴，

在Rt△ABC中，由AB＝10，sin∠CAB＝，

∴BC＝4，

由∠EAC＝∠CAB，得，

∴EC＝BC＝4．

故DE＝可求．