Question

【题目】如图，四边形内接于⊙，且．延长至点，使，连接．

（1）求证：平分；

（2）若，求证：是⊙的切线．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据同弧所对圆周角相等可得∠ABD＝∠ACD，由此可证△ABD≌△ACE，进而可得AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，再由AD＝AE得∠ADE＝∠AEC，等量代换即可得证；

（2）由AB∥CD得∠ADE＝∠BAD，结合∠ADE＝∠ADB可得∠ADB＝∠BAD，由此可得AB＝BD，结合BD＝CE，进而可证四边形ABCE为平行四边形，进而得BC∥AE，连接OA、OB、OC，再根据AB＝AC，OB＝OC可证AO⊥BC，结合BC∥AE即可得证．

（1）证明：由图可知：∠ABD＝∠ACD，

∵在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AEC，

∴∠ADE＝∠ADB，

∴AD平分∠BDE；

（2）∵AB∥CD，

∴∠ADE＝∠BAD，

∵∠ADE＝∠ADB，

∴∠ADB＝∠BAD，

∴AB＝BD，

∵BD＝CE，

∴AB＝CE，

∵AB＝CE，AB∥CD，

∴四边形ABCE为平行四边形，

∴BC∥AE，

如图，连接OA、OB、OC，

∵AB＝AC，OB＝OC

∴AO⊥BC，

又∵BC∥AE

∴AO⊥AE，

∴AE是⊙O的切线．