Question

【题目】已知抛物线与坐标轴交于.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线与该抛物线交于点 （在的左侧），记抛物线在直线下方的图象为，在直线下方的图象为，将图象沿直线向下翻折得到图象，图象和图象两部分组成的图象记为.

①设图象的顶点为，当落在的边上时，求实数的值.

②当时,设是图象上的动点.

（i）连结，过线段的中点作轴的平行线交轴于点，当是以为直角顶点的直角角形时，直接写出的值.

（ii）当时，的最小值为，直接写出的最大值及相应的的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）点Q的坐标为（1，5）或（1．-5）．

【解析】

（1）点A、B、C的坐标已知，只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）由四边形POP′B为菱形可得PO=PB，从而有∠POB=∠PBO．由点Q在抛物线的对称轴上可得QA=QB，从而有∠QAB=∠QBA．由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA，从而可得点Q、P、B共线．由PO=PB可得点P在OB的垂直平分线上，从而可得xP= ，代入抛物线即可求出点P的坐标，然后根据相似三角形的性质，即可得到点Q的坐标；

（1）∵A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）∵四边形POP′B为菱形，
∴PO=PB，
∴∠POB=∠PBO．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴QA=QB，
∴∠QAB=∠QBA．
由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA，
∴当Q点在x轴上方时，点Q、P、B共线．
∵PO=PB，

∴点P在OB的垂直平分线上，
∴xP=，
此时yP=- ，
点P的坐标为（）．
∵△QAB～△POB，
∴ ，
∵yP=，AB=4，OB=3，
∴ ，
∴|yQ|=5，
∴yQ=±5，
∵抛物线的对称轴为x=-=1，
∴点Q的坐标为（1，5）或（1．-5）．