Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，圆心角∠AOB=90°，以半径OA、OB的中点C、F为顶点作矩形CDEF，顶点D、E在⊙O的劣弧

AB

上，OM⊥DE于点M．试求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析：由图知，阴影部分的面积等于扇形OAB的面积减去等腰直角三角形OAB的面积再减去矩形PDEQ的面积．求得相关的线段后即可得解．

解答：解：∵∠AOB=90°，
∴扇形AOB的面积=

1

4

πr2=4π．（1分）
∵C、F分别为OA、OB的中点，OA=OB=4，
∴OC=OF=2，CF=2

2

．（2分）
∴CF平行且等于

1

2

AB．
∴AB=2CF=4

2

．（3分）
∴CF∥AB∥DE，
∴CD⊥AB，FE⊥AB．
∵OM⊥DE，
∴OM⊥AB．
∵△AON为等腰直角三角形，且OA=4，
∴ON=2

2

．连接OD，
∵DM=ME=

2

，
∴OM=

OD2-OM2

=

14

．
∴MN=PD=QE=

14

-2

2

．（4分）
∴矩形PDEQ的面积=2

2

×（

14

-2

2

）=4

7

-8．（5分）
∴S_阴影=S_扇形AOB-S_△AOB-S_矩形PDEQ
=4π-

1

2

OA?OB-（4

7

-8）
=4π-

1

2

OA?OB-（4

7

-8）
=4π-8-（4

7

-8）
=4π-4

7

．（6分）

点评：本题关键是求矩形PDEQ的长PQ和宽QE，要利用到等腰直角三角形的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质．