题目内容
已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB、CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC.连接DE,DE=15 |
(1)求证:AM•MB=EM•MC;
(2)求EM的长;
(3)求sin∠EOB的值.
分析:(1)连接A、C,E、B点,那么只需要求出△AMC和△EMB相似,即可求出结论,根据圆周角定理可推出它们的对应角相等,即可得△AMC∽△EMB;
(2)根据圆周角定理,结合勾股定理,可以推出EC的长度,根据已知条件推出AM、BM的长度,然后结合(1)的结论,很容易就可求出EM的长度;
(3)过点E作EF⊥AB,垂足为点F,通过作辅助线,解直角三角形,结合已知条件和(1)(2)所求的值,可推出Rt△EOF各边的长度,根据锐角三角函数的定义,便可求得sin∠EOB的值.
(2)根据圆周角定理,结合勾股定理,可以推出EC的长度,根据已知条件推出AM、BM的长度,然后结合(1)的结论,很容易就可求出EM的长度;
(3)过点E作EF⊥AB,垂足为点F,通过作辅助线,解直角三角形,结合已知条件和(1)(2)所求的值,可推出Rt△EOF各边的长度,根据锐角三角函数的定义,便可求得sin∠EOB的值.
解答:(1)证明:连接AC、EB,
∵∠A=∠BEC,∠B=∠ACM,
∴△AMC∽△EMB,
∴
=
,
∴AM•BM=EM•CM;
(2)解:∵DC是⊙O的直径,
∴∠DEC=90°,
∴DE2+EC2=DC2,
∵DE=
,CD=8,且EC为正数,
∴EC=7,
∵M为OB的中点,
∴BM=2,AM=6,
∵AM•BM=EM•CM=EM(EC-EM)=EM(7-EM)=12,且EM>MC,
∴EM=4;
(3)解:过点E作EF⊥AB,垂足为点F,
∵OE=4,EM=4,
∴OE=EM,
∴OF=FM=1,
∴EF=
=
,
∴sin∠EOB=
.
∵∠A=∠BEC,∠B=∠ACM,
∴△AMC∽△EMB,
∴
AM |
CM |
EM |
BM |
∴AM•BM=EM•CM;
(2)解:∵DC是⊙O的直径,
∴∠DEC=90°,
∴DE2+EC2=DC2,
∵DE=
15 |
∴EC=7,
∵M为OB的中点,
∴BM=2,AM=6,
∵AM•BM=EM•CM=EM(EC-EM)=EM(7-EM)=12,且EM>MC,
∴EM=4;
(3)解:过点E作EF⊥AB,垂足为点F,
∵OE=4,EM=4,
∴OE=EM,
∴OF=FM=1,
∴EF=
42-12 |
15 |
∴sin∠EOB=
| ||
4 |
点评:本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理,锐角三角函数定义、勾股定理的知识点,本题关键根据已知条件和图形作好辅助线,结论就很容易求证了.
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