Question

已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求四边形AEOF的面积．
（2）设AE=x，S_△OEF=y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC求出∠B=∠OAF=45°，再根据全等三角形的判定定理得出△BOE≌△AOF，再根据S_{四边形AEOF}=S_△AOB即可得出答案；
（2）先根据圆周角定理求出∠BAC=90°，再根据y=S_△OEF=S_{四边形AEOF}-S_△AEF即可得出答案．

解答：解：（1）∵BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC，
∴∠B=∠OAF=45°，OA=OB，
又∵AE=CF，AB=AC，
∴BE=AF，
∴△BOE≌△AOF
∴S_{四边形AEOF}=S_△AOB=

1

2

OB•OA=2．

（2）∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC=90°，且AB=AC=2

2

，
y=S_△OEF=S_{四边形AEOF}-S_△AEF=2-

1

2

AE•AF=2-

1

2

x（2

2

-x）
∴y=

1

2

x²-

2

x+2（0＜x＜2

2

）．

点评：本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，涉及面较广，难度适中．