Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．

（1）求过点A，B的直线的函数表达式；

（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出的m值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（1，3）；（2）D（，0）；（3）这样的m存在．m=．

【解析】

试题（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，根据题意求出点B的坐标，利用待定系数法求出过点A，B的直线的函数表达式；（2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（3）分PQ∥BD时和PQ⊥AD时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

试题解析：(1)∵点A(3,0),C(1,0)，

∴AC=4,又BC=AC，

∴BC=3，

∴B点坐标为(1,3)，

设过点A，B的直线的函数表达式为：y=kx+b，

则，

解得，

∴直线AB的函数表达式为：y=x+；

(2)如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，

∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，

∴△ADB∽△ABC，

∴D点为所求，

∵△ADB∽△ABC，

∴,即=，

解得,CD=，

∴OD=OC+CD=，

∴点D的坐标为(,0)；

(3)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB==5，

如图2,当PQ∥BD时,△APQ∽△ABD，

则，

解得,m=，

如图3,当PQ⊥AD时,△APQ∽△ADB，

则，

解得,m=，

所以若△APQ与△ADB相似时,m=或.