Question

如图，抛物线y=ax²-5ax+4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．
（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
（2）求三角形ABC的面积；
（3）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，写出平移后抛物线的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）把点C的坐标代入函数解析式，列出关于系数a的方程，通过解方程来求a的值；
（2）由（1）中的解析式求得点A、B的坐标，然后求得线段AB的长度，结合三角形面积公式来求三角形ABC的面积；
（3）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）通过配方，将一般式化为y=a（x-h）²+k的形式，可确定其顶点坐标为（h，k）；然后根据平移的规律直接写出平移后的抛物线解析式．

解答：解：（1）把点C（5，4）代入抛物线y=ax²-5ax+4a，
得25a-25a+4a=4，
解得a=1．
∴该二次函数的解析式为y=x²-5x+4．
∵y=x²-5x+4=（x-

5

2

）²-

9

4

，
∴顶点坐标为P（

5

2

，-

9

4

）．
综上所述，a的值和该抛物线顶点P的坐标分别是1、（

5

2

，-

9

4

）；

（2）∵由（1）知，二次函数的解析式为y=x²-5x+4=（x-1）（x-4）．
则A（1，0），B（4，0）．
∴AB=3．
又C（5，4），
∴三角形ABC的面积是：

1

2

×3×4=6；

（3）由抛物线y=（x-

5

2

）²-

9

4

先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到的二次函数解析式为y=（x-

5

2

+2）²-

9

4

+3=（x-

1

2

）²+

3

4

=x²-x+1，
即y=x²-x+1．

点评：本题考查抛物线与x轴的交点及平移的有关知识．解题时，需要熟悉抛物线解析式的三种形式．