Question

已知二次函数y=

1

2

x²-x+m的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于B、C两点（点B在C的左边），P为它的顶点．
（1）试确定m的值；
（2）设点D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求直线AD的解析式．

Answer 1

分析：（1）把点A的坐标代入函数解析式，可以求出m的值．
（2）二次函数的顶点坐标可以根据化简的二次函数式求出，令y=0则代入解析式则可求出与x轴的交点B、C的坐标，易证△AEC是等腰直角三角形，作PF⊥x轴于F，可以证明△DPC∽△BAC，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出D的坐标，根据待定系数法就可以求出直线AD的解析式．

解答：解：（1）把点A的坐标代入函数解析式，得到：6=

1

2

×（-3）²-（-3）+m，
解得m=-

3

2

．
（2）因为y=

1

2

x²-x-

3

2

=

1

2

（x-1）²-2，
所以顶点坐标是p（1，-2）．
令y=0，得

1

2

（x-1）²-2=0，
解得x=-1或x=3．
所以抛物线与x轴的交点坐标是B（-1，0），C（3，0）
作AE⊥x轴于E，易知|AE|=|CE|=6，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°．
作PF⊥x轴于F，
同理得到∠PCD=45°=∠ACB又因为∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC．
∴

DC

BC

=

PF

AE

．
设点D的坐标是（a，0），
那么DC=3-a，另外BC=4，PF=2，AE=6，
∴

3-a

4

=

2

6

，
解得a=

5

3

∴点D的坐标是（

5

3

，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，把点A，D的坐标代入得到：

6=-3k+b 0= 5 3 k+b

，
解得

k=- 9 7 b= 15 7

．
∴直线AD的解析式是y=-

9

7

x+

15

7

．

点评：本题主要考查了二次函数的顶角坐标的求解方法，以及利用待定系数法求函数的解析式．