题目内容
已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数,△=p2-4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且A,B两点间的距离为d,例如,通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图象(如图),可得出表中第2行的相关数据.(1)在表内的空格中填上正确的数;
(2)根据上述表内d与△的值,猜想它们之间有什么关系?再举一个符合条件的二次函数,验证你的猜想;
(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数,△=p2-4q>0)证明你的猜想.聪明的小伙伴:你能再给出一

y=x2+px+q | p | q | △ | x1 | x2 | d | ||||||||
y=x2-5x+6 | -5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 1 | ||||||||
y=x2-
|
-
|
|
|
|||||||||||
y=x2+x-2 | -2 | -2 | 3 |
分析:(1)p为一次项系数;q为二次函数的常数项;△为b2-4ac;一根为常数项÷另一根;d为较大根于较小根之差;
(2)代入相关值后可得相关量之间的关系;
(3)令y=0,得出x1+x2=-p,x1•x2=q.继而推出d2=(|x1-x2|)2=△
(2)代入相关值后可得相关量之间的关系;
(3)令y=0,得出x1+x2=-p,x1•x2=q.继而推出d2=(|x1-x2|)2=△
解答:解:(1)易得第三行q=0,x1=0,d=
;第四行为p=1,△=9,x2=1;
(2)猜想:d2=△.
例如:y=x2-x-2中;p=-1,q=-2,△=9;
由x2-x-2=0得x1=2,x2=-1,d=3,d2=9,
∴d2=△;
(3)证明.令y=0,得x2+px+q=0,
∵△>0
设x2+px+q=0的两根为x1,x2,
则x1+x2=-p,x1•x2=q,
d2=(|x1-x2|)2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2
=(-p)2-4q=p2-4q=△,
1 |
2 |
(2)猜想:d2=△.
例如:y=x2-x-2中;p=-1,q=-2,△=9;
由x2-x-2=0得x1=2,x2=-1,d=3,d2=9,
∴d2=△;
(3)证明.令y=0,得x2+px+q=0,
∵△>0
设x2+px+q=0的两根为x1,x2,
则x1+x2=-p,x1•x2=q,
d2=(|x1-x2|)2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2
=(-p)2-4q=p2-4q=△,
点评:本题考查二次函数的性质的综合运用,需注意可根据具体的数值得到相应的量之间的关系.

练习册系列答案
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已知二次函数y=x2+(2a+1)x+a2-1的最小值为0,则a的值是( )
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
|

A、x1=1,x2=3 | B、x1=0,x2=3 | C、x1=-1,x2=1 | D、x1=-1,x2=3 |