题目内容

已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数,△=p2-4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且A,B两点间的距离为d,例如,通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图象(如图),可得出表中第2行的相关数据.
(1)在表内的空格中填上正确的数;
(2)根据上述表内d与△的值,猜想它们之间有什么关系?再举一个符合条件的二次函数,验证你的猜想;
(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数,△=p2-4q>0)证明你的猜想.聪明的小伙伴:你能再给出一精英家教网种不同于(3)的正确证明吗?我们将对你的出色表现另外奖励3分.
y=x2+px+q  x1 x2 
y=x2-5x+6  -5  6  1  1
y=x2-
1
2
-
1
2
 
   
1
4
   
1
2
 
y=x2+x-2    -2   -2    3
分析:(1)p为一次项系数;q为二次函数的常数项;△为b2-4ac;一根为常数项÷另一根;d为较大根于较小根之差;
(2)代入相关值后可得相关量之间的关系;
(3)令y=0,得出x1+x2=-p,x1•x2=q.继而推出d2=(|x1-x2|)2=△
解答:解:(1)易得第三行q=0,x1=0,d=
1
2
;第四行为p=1,△=9,x2=1;

(2)猜想:d2=△.
例如:y=x2-x-2中;p=-1,q=-2,△=9;
由x2-x-2=0得x1=2,x2=-1,d=3,d2=9,
∴d2=△;

(3)证明.令y=0,得x2+px+q=0,
∵△>0
设x2+px+q=0的两根为x1,x2
则x1+x2=-p,x1•x2=q,
d2=(|x1-x2|)2=(x1-x22=(x1+x22-4x1•x2
=(-p)2-4q=p2-4q=△,
点评:本题考查二次函数的性质的综合运用,需注意可根据具体的数值得到相应的量之间的关系.
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