Question

如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（2，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．求证：AD∥OB；
（3）动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x；

（2）如图，连接AC交OB于点E，连接OC、OB，
∵OC=OB，AB=AO，
∴AC⊥OB，
∵AD为切线，
∴AC⊥AD，
∴AD∥OB；

（3）∵tan∠AOB=，
∴sin∠AOB=，
∴AE=OA•sin∠AOB=4×=2.4，
∵AD∥OB，
∴∠OAD=∠AOB，
∴OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×=3，
当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t，
过O点作OF⊥AD于F，
在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF===1.8，
∴t=1.8秒．
分析：（1）把经过的点的坐标代入抛物线表达式，然后利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）连接AC交OB于点E，连接OC、OB，然后根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上求出AC⊥OB，再根据圆的切线的定义求出AC⊥AD，然后根据垂直于同一直线的两直线互相平行证明；
（3）根据∠AOB的正切值求出余弦值，然后求出AE，再利用∠OAD的正切值求出OD的长，表示出OP、OQ，再过O点作OF⊥AD于F，用t表示出DF，在Rt△ODF中，利用勾股定理列式求出DF，从而得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，圆的切线的定义，解直角三角形，勾股定理的应用，平行线间的距离相等的性质，难度较大，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．