Question

13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为底边作等腰三角形△ACD，AD=CD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE．
（1）求证：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，BC=9cm，点P是射线DE上的一点．则当点P为何处时，△PBC的周长最小，并求出此时△PBC的周长．

Answer 1

分析 （1）首先证明EA=EC，再证明EC=EB即可解决问题．
（2）先说明P与E重合时△PBC的周长最小，最小值=AB+AC．

解答 （1）证明：∵DA=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF，
∴DE垂直平分线段AC，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠B=90°，∠ECA+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠B，
∴EC=EB=EA．

（2）连接PB、PC、PA．
要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可．
∵PB+PC=PA+PB≥AB，
∴当P与E重合时，PA+PB最小，
∴△PBC的周长最小值=AB+BC=15+9=24cm．

点评 本题考查轴对称-最小值问题，线段垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最值问题，属于中考常考题型．