Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE。
（1）求证：BC=CD；
（2）将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG，求证：CD垂直平分EG；
（3）延长BE交CD于点P，求证：P是CD的中点。

Answer 1

证明：（1）如图，延长DE交BC于F， ∵AD∥BC，AB ∥DF， ∴AD=BF，∠ABC=∠DFC， 在Rt△DCF中， ∵tan∠DFC=tan∠ABC=2， ∴， 即CD=2CF， ∵CD=2AD=2BF， ∴BF=CF ∴CD=CD， 即BC=CD；
（2）∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE=∠DCE， 由（1）知BC=CD， ∵CE=CE， ∴△BCE≌△DCE， ∴BE=DE， 由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG， ∴DE=DG， ∴C、D都在EG的垂直平分线上， ∴CD垂直平分EG；
（3）如图，连接BD， 由（2）知BE=DE， ∴∠1=∠2， ∵AB∥DE， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠3， ∵AD∥BC， ∴∠4=∠DBC， 由（1）知BC=CD， ∴∠DBC=∠BDC， ∴∠4=∠BDP， 又∵BD=BD， ∴△BAD≌△BPD， ∴AD=DP， ∵， ∴ ∴P是CD的中点。