Question

在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在函数C1：y=

k1

x

(x＞0)的图象上，其中k₁＞0．AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC=1．

（1）若k₁=2，则AO的长为

 

，△BOD的面积为

 

；
（2）如图1，若点B的横坐标为k₁，且k₁＞1，当AO=AB时，求k₁的值；
（3）如图2，OC=4，BE⊥y轴于点E，函数C2：y=

k2

x

(x＞0)的图象分别与线段BE，BD交于点M，N，其中0＜k₂＜k₁．将△OMN的面积记为S₁，△BMN的面积记为S₂，若S=S₁-S₂，求S与k₂的函数关系式以及S的最大值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：探究型

分析：（1）把k₁=2，AC=1代入反比例函数的解析式求出A点坐标，再根据勾股定理求出OA的长；根据反比例函数图象上点的坐标特点可直接得出△BOD的面积；
（2）由于A，B两点在函数C1：y=

k1

x

（x＞0）的图象上，故点A，B的坐标分别为（1，k₁），（k₁，1），再由AO=AB，可根据由勾股定理得出AO²=1+k₁²，AB²=（1-k₁）²+（k₁-1）²，再求出k₁的值即可；
（3））先根据OC=4得出点A的坐标，故可得出k₁的值，设点B的坐标为（m，

4

m

），因为BE⊥y轴于点E，BD⊥x轴于点D，所以四边形ODBE为矩形，且S_{四边形ODBE}=4，再由点M的纵坐标为

4

m

，点N的横坐标为m．点M，N在函数C₂：y=

k2

x

（x＞0）的图象上可知点M的坐标为（

mk2

4

，

4

m

），点N的坐标为（m，

k2

m

）．所以S_△OME=S_△OND=

k2

2

，S₂=

1

2

BM•BN，再由S=S₁-S₂可得出关于k₂的解析式，由其中0＜k₂＜4即可得出结论．

解答：解：（1）∵AC=1，k₁=2，点A在反比例函数y=

k1

x

的图象上，
∴y=

2

1

=2，即OC=2，
∴AO=

22+12

=

5

，
∵点B在反比例函数y=

2

x

的图象上，BD⊥x轴，
∴△BOD的面积为1．        

（2）∵A，B两点在函数C1：y=

k1

x

（x＞0）的图象上，
∴点A，B的坐标分别为（1，k₁），（k₁，1）．
∵AO=AB，
由勾股定理得AO²=1+k₁²，AB²=（1-k₁）²+（k₁-1）²，
∴1+k₁²=（1-k₁）²+（k₁-1）²．
解得k₁=2+

3

或k₁=2-

3

，
∵k₁＞1，
∴k₁=2+

3

；

（3）∵OC=4，
∴点A的坐标为（1，4）．
∴k₁=4．
设点B的坐标为（m，

4

m

），
∵BE⊥y轴于点E，BD⊥x轴于点D，
∴四边形ODBE为矩形，且S_{四边形ODBE}=4，
点M的纵坐标为

4

m

，点N的横坐标为m．
∵点M，N在函数C₂：y=

k2

x

（x＞0）的图象上，
∴点M的坐标为（

mk2

4

，

4

m

），点N的坐标为（m，

k2

m

）．
∴S_△OME=S_△OND=

k2

2

．
∴S₂=

1

2

BM•BN=

1

2

（m-

mk2

4

）（

4

m

-

k2

m

）=

(4-k2)2

8

．
∴S=S₁-S₂=（4-k₂-S₂）-S₂=4-k₂-2S₂．
∴S=4-k₂-2×

(4-k2)2

8

=-

1

4

k₂²+k₂，
其中0＜k₂＜4．
∵S=-

1

4

k₂²+k₂=-

1

4

（k₂-2）²+1，而-

1

4

＜0，
∴当k₂=2时，S的最大值为1．
故答案为：

5

，1．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，此题涉及到勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特点及二次函数的最值问题等相关知识，难度较大．