Question

如图，在△ABC和△PQD中，

AC

BC

=

DP

DQ

，∠C=∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，联结EQ，交PC于点H．猜想线段EH与AC之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：取BC边的中点F，连接DE、DF，利用三角形中位线的性质得出四边形DFCE是平行四边形，进而得出△PDF∽△QDE，即可得出EH与AC之间的数量关系．

解答：猜想：EH=

1

2

AC．
证明：取BC边的中点F，连接DE、DF．
∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC且DE=

1

2

BC，DF∥AC且DF=

1

2

AC．
∴四边形DFCE是平行四边形．
∴∠C=∠EDF，
∵∠C=∠PDQ，
∴∠PDQ=∠EDF，
∴∠PDF=∠QDE．
又∵

AC

BC

=

DP

DQ

，

AC

BC

=

DF

DE

，
∴

DP

DQ

=

DF

DE

．
∴△PDF∽△QDE．
∴∠DEQ=∠DFP．
又∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．
∴∠C=∠EHC．
∴EH=EC．
∴EH=

1

2

AC．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质和相似三角形的判定与性质等知识，得出△PDF∽△QDE是解题关键．