Question

15．操作：
已知矩形ABCD中，AB=5cm，AD=2cm．作如下折叠操作：如图①和图②所示，在边AB上取点M，在边AD或边DC上取点P，连结MP，将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠得到△A′MP或四边形A′MPD′，点A的落点为点A′，点D的落点为点D′．

探究：（1）如图①，若AM=4cm，点P在AD上，点A′落在DC上，求∠MA′C的度数；
（2）如图②，若AM=2.5cm．
①点P在DC上，点A′落在DC上，求线段DP的长；
②若点P由A开始，沿A→D→C方向，在AD、DC边上运动．设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为ts，当边MA′与线段DC有交点时，直接写出t的取值范围1.25≤t≤3.5．
发现：
（3）若点M在线段AB上移动，点P为线段AD或DC边上的任意点，随着点M位置的不同，按操作要求折叠后，点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况：①不会落在线段DC上；②只有一次落在线段DC上；③会有两次落在线段DC上．
求：在②③的情况下，AM的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得出三角形全等，进而分析AM=A′M=8=2MN，利用含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）①根据矩形的性质和翻折的性质得出∠A′PM=∠A′MP，再利用等角对等边得出等腰三角形，根据等腰三角形中边之间的关系得出线段的长度即可；
②根据勾股定理得出t的取值范围；
（3）利用矩形的性质作图进行解答．

解答 解：（1）过点M作MN⊥DC，如图1：

∵四边形ABCD是矩形，
∴MN=BC=2，
∵将△AMP沿着直线MP折叠得到△A′MP，
∴AM=A′M=4=2MN，
∴在Rt△A′MN中，∠MA′C=30°；
（2）①∵A′P与AM是矩形ABCD的对边CD，AB的一部分，
∴A′P∥AM，
∴∠A′PM=∠AMP，
由翻折的性质得：∠AMP=∠A′MP，
∴∠A′PM=∠A′MP，
∴A′P=A′M，
∴△MA′P是等腰三角形；
∴PM=AM=A′M=2.5，
∵DA=2，
∴DP=2.5-2=0.5
∴线段DP的长是0.5cm；
②当点P在AD上，点A′落在DC上时，如图1所示，
过点M作MN⊥DC交DC于点N，
则四边形AMND为矩形，DN=AM=2.5cm，MN=2cm，
设AP为xcm，则由翻折的性质得：
AM=A′M=2.5cm，AP=A′P=xcm，
在Rt△A′MN中，A′N=$\sqrt{2．{5}^{2}-{2}^{2}}=1.5$cm，
∴DA′=DN-A′N=2.5-1.5=1（cm），
在Rt△A′PD中，
A′P²=A′D²+PD²，
即：x²=1²+（2-x）²，
解得：x=1.25，
此时t=1.25s；
当点P在DC上，点A′落在DC上时，如图1，
可知DP=1.5cm，此时，t=3.5s，
当MA′与DC有交点时，t的取值范围是：1.25≤t≤3.5；
故答案为：1.25≤t≤3.5；
（3）当点A′到边AB的距离最大时，
即A′M⊥AB时，t的值为2.5s，
发现：当点A的落点A′，在以M为圆心，MA为半径的圆上，当圆M与线段CD有唯一交点时，如图2所示，

此时AM=2cm，
当圆M交线段CD于点C时，如图3所示

AM=2.9cm，
所以：2＜AM≤2.9．

点评 此题考查几何变换问题，用到的知识点是等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，关键是利用折叠的前后图形全等进行分析，同时利用矩形的性质和等腰三角形的判定和性质进行解答．