Question

1．已知抛物线y=-x²+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
①求A、B、C三点的坐标；
②过点A作AD∥BC交抛物线于点D，求直线AD的解析式；（提示：已知直线l₁的解析式为y=k₁+b₁，直线l₂的解析式为y=k₂x+b₂，若l₁∥l₂，则k₁=k₂；若l₁⊥l₂，则k₁•k₂=-1）
③求四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析 （1）通过解方程-x²+2=0可得A、B点的坐标，然后计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-$\sqrt{2}$x+2，再利用AD∥BC设为y=-$\sqrt{2}$x+n，然后把A点坐标代入求出n即可得到直线AD的解析式；
（3）先通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2}\\{y=-\sqrt{2}x-2}\end{array}\right.$得D点坐标为（2$\sqrt{2}$，-6），然后根据三角形面积公式，利用四边形ACBD的面积=S_△ABC+S_△ABD进行计算即可．

解答 解：（1）当y=0时，-x²+2=0，解得x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，则A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0）；
当x=0时，y=-x²+2=2，则C点坐标为（0，2）；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（$\sqrt{2}$，0），C（0，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得k=-$\sqrt{2}$，b=2，
所以直线BC的解析式为y=-$\sqrt{2}$x+2，
∵AD∥BC，
∴直线AD的解析式可设为y=-$\sqrt{2}$x+n，
把A（-$\sqrt{2}$，0）代入得-$\sqrt{2}$×（-$\sqrt{2}$）+n=0，解得n=-2，
∴直线AD的解析式为y=-$\sqrt{2}$x-2；
（3）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2}\\{y=-\sqrt{2}x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=-6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴D点坐标为（2$\sqrt{2}$，-6），
∴四边形ACBD的面积=S_△ABC+S_△ABD
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×6
=8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求一次函数解析式和通过解方程组求抛物线与一次函数的交点坐标．