Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边△DEF从初始位置(点E与点B重合，EF落在BC上，如图1所示)在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N。当点F运动到点C时，△DEF终止运动，此时点D恰好落在AB上，设平移的时间为．

(1)求△DEF的边长；

(2)求M点、N点在BA上的移动速度；

(3)在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE→EF运动，最终运动到F点．若设△PMN的面积为，求与的函数关系式，写出它的定义域；并说明当P点在何处时，△PMN的面积最大?

Answer 1

解：(1)当点F与点C重合时，如图1所示：

∵△DEF为等边三角形 ∴∠DFE=60°

∵∠B=30° ∴∠BDF=90°

∴FD=BC=3

(2)过E点作EG⊥AB      ∵∠DEF=60°，∠B=30°

∴∠AMF=30° ∵EB=EM

在Rt△EBG中，BG=

∴BM=2BG=

∴M点在BA上的移动速度为

过F点作FH⊥F₁D_l ，在Rt△FF₁H中，

FH

∴N点在BA上的移动速度为

(3)在Rt△DMN中，DM=，MN

当P点运动到M点时，有

∴

①当P点在DM之间运动时，过P点作PP₁上AB，垂足为P₁。

在Rt△PMP_l中，  ∴PP_l

∴与的函数关系式为：

②当P点在ME之间运动时，过P点作PP₂⊥AB，垂足为P₂

在Rt△PMP₂中，PM= 

∴PP₂

∴与的函数关系式为：

③当P点在EF之间运动时，过P点作PP₃⊥AB，垂足为P₃

在Rt△PMP₃中，PM=  ∴PP₃=

∴与的函数关系式为：

∴

∴当时，

而当P点在D点时，

∵

∴当P点在D点时，△PMN的面积最大